sin7x>=√3/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(7 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(7 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(7 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$7 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$7 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$7 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$7 x = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$7$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{7} + \frac{\pi}{21}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{7} + \frac{2 \pi}{21}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{7} + \frac{\pi}{21}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{7} + \frac{2 \pi}{21}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{7} + \frac{\pi}{21}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{7} + \frac{2 \pi}{21}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{2 \pi n}{7} + \frac{\pi}{21}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{7} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{21}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(7 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(7 \left(\frac{2 \pi n}{7} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{21}\right) \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

                             ___
   /  7    pi         \    \/ 3 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  10   3          /      2  
                           

pero

                            ___
   /  7    pi         \   \/ 3 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  10   3          /     2  
                          

Entonces
$$x \leq \frac{2 \pi n}{7} + \frac{\pi}{21}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{2 \pi n}{7} + \frac{\pi}{21} \wedge x \leq \frac{2 \pi n}{7} + \frac{2 \pi}{21}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2