cos(3x)cos(x)+sin(3x)sin(x)>=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(3 \left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \sin{\left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} \sin{\left(3 \left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq \frac{1}{2}$$

             /1    pi\                /1    pi\       
cos(3/10)*cos|-- + --| + sin(3/10)*sin|-- + --| >= 1/2
             \10   3 /                \10   3 /       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{5 \pi}{6}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x \geq - \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6}$$