cos(2x)+5cos(x)+3>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 = 0$$
cambiamos
$$5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 3 = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 5$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (2) * (2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -2$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = \pi - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 \geq 0$$
$$\left(5 \cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} + \cos{\left(2 \left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) + 3 \geq 0$$

       /1   pi\        /1    pi\     
3 - cos|- + --| - 5*sin|-- + --| >= 0
       \5   3 /        \10   6 /     

pero

       /1   pi\        /1    pi\    
3 - cos|- + --| - 5*sin|-- + --| < 0
       \5   3 /        \10   6 /    

Entonces
$$x \leq - \frac{2 \pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{2 \pi}{3} \wedge x \leq \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2