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Resolver desigualdades/ cos(9*x)>=sqrt(2)/2

cos(9*x)>=sqrt(2)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
              ___
            \/ 2 
cos(9*x) >= -----
              2
cos⁡(9x)≥22\cos{\left(9 x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} 
cos(9*x) >= sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(9x)≥22\cos{\left(9 x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(9x)=22\cos{\left(9 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(9x)=22\cos{\left(9 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
9x=πn+acos⁡(22)9 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
9x=πn−π+acos⁡(22)9 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
O
9x=πn+π49 x = \pi n + \frac{\pi}{4}
9x=πn−3π49 x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
99
x1=πn9+π36x_{1} = \frac{\pi n}{9} + \frac{\pi}{36}
x2=πn9−π12x_{2} = \frac{\pi n}{9} - \frac{\pi}{12}
x1=πn9+π36x_{1} = \frac{\pi n}{9} + \frac{\pi}{36}
x2=πn9−π12x_{2} = \frac{\pi n}{9} - \frac{\pi}{12}
Las raíces dadas
x1=πn9+π36x_{1} = \frac{\pi n}{9} + \frac{\pi}{36}
x2=πn9−π12x_{2} = \frac{\pi n}{9} - \frac{\pi}{12}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn9+π36)+−110\left(\frac{\pi n}{9} + \frac{\pi}{36}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn9−110+π36\frac{\pi n}{9} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{36}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(9x)≥22\cos{\left(9 x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡(9(πn9−110+π36))≥22\cos{\left(9 \left(\frac{\pi n}{9} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{36}\right) \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
                           ___
   /  9    pi       \    \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| >= -----
   \  10   4        /      2

pero
                          ___
   /  9    pi       \   \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| < -----
   \  10   4        /     2

Entonces
x≤πn9+π36x \leq \frac{\pi n}{9} + \frac{\pi}{36}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥πn9+π36∧x≤πn9−π12x \geq \frac{\pi n}{9} + \frac{\pi}{36} \wedge x \leq \frac{\pi n}{9} - \frac{\pi}{12}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-100-80-60-40-20204060801002-2
Respuesta rápida [src] 
  /   /                   /   _____________\\     /                   /   _____________\            \\
  |   |                   |  /         ___ ||     |                   |  /         ___ |            ||
  |   |             2*atan\\/  3 - 2*\/ 2  /|     |     2*pi    2*atan\\/  3 - 2*\/ 2  /   2*pi     ||
Or|And|0 <= x, x <= ------------------------|, And|x <= ----, - ------------------------ + ---- <= x||
  \   \                        9            /     \      9                 9                9       //
(0≤x∧x≤2atan⁡(3−22)9)∨(x≤2π9∧−2atan⁡(3−22)9+2π9≤x)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)}}{9}\right) \vee \left(x \leq \frac{2 \pi}{9} \wedge - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)}}{9} + \frac{2 \pi}{9} \leq x\right) 
((0 <= x)∧(x <= 2*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2)))/9))∨((x <= 2*pi/9)∧(-2*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2)))/9 + 2*pi/9 <= x))
Respuesta rápida 2 [src] 
          /   _____________\             /   _____________\              
          |  /         ___ |             |  /         ___ |              
    2*atan\\/  3 - 2*\/ 2  /       2*atan\\/  3 - 2*\/ 2  /   2*pi  2*pi 
[0, ------------------------] U [- ------------------------ + ----, ----]
               9                              9                9     9
x in [0,2atan⁡(3−22)9]∪[−2atan⁡(3−22)9+2π9,2π9]x\ in\ \left[0, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)}}{9}\right] \cup \left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)}}{9} + \frac{2 \pi}{9}, \frac{2 \pi}{9}\right] 
x in Union(Interval(0, 2*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2)))/9), Interval(-2*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2)))/9 + 2*pi/9, 2*pi/9))
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