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Resolver desigualdades/ cos(2x)<(sqrt3)/2

cos(2x)<(sqrt3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
             ___
           \/ 3 
cos(2*x) < -----
             2
cos⁡(2x)<32\cos{\left(2 x \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2} 
cos(2*x) < sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(2x)<32\cos{\left(2 x \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(2x)=32\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(2x)=32\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
2x=πn+acos⁡(32)2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
2x=πn−π+acos⁡(32)2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
O
2x=πn+π62 x = \pi n + \frac{\pi}{6}
2x=πn−5π62 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
22
x1=πn2+π12x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}
x2=πn2−5π12x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}
x1=πn2+π12x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}
x2=πn2−5π12x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}
Las raíces dadas
x1=πn2+π12x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}
x2=πn2−5π12x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn2+π12)+−110\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn2−110+π12\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(2x)<32\cos{\left(2 x \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(2(πn2−110+π12))<32\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}
                         ___
   /  1   pi       \   \/ 3 
cos|- - + -- + pi*n| < -----
   \  5   6        /     2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<πn2+π12x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<πn2+π12x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}
x>πn2−5π12x > \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-70-60-50-40-30-20-10102030405060702-2
Respuesta rápida [src] 
   /             /  ___     ___\       /  ___     ___\    \
   |             |\/ 2  - \/ 6 |       |\/ 2  - \/ 6 |    |
And|x < pi + atan|-------------|, -atan|-------------| < x|
   |             |  ___     ___|       |  ___     ___|    |
   \             \\/ 2  + \/ 6 /       \\/ 2  + \/ 6 /    /
x<atan⁡(−6+22+6)+π∧−atan⁡(−6+22+6)<xx < \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} < x 
(x < pi + atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))))∧(-atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))) < x)
Respuesta rápida 2 [src] 
      /  ___     ___\           /  ___     ___\ 
      |\/ 2  - \/ 6 |           |\/ 2  - \/ 6 | 
(-atan|-------------|, pi + atan|-------------|)
      |  ___     ___|           |  ___     ___| 
      \\/ 2  + \/ 6 /           \\/ 2  + \/ 6 /
x in (−atan⁡(−6+22+6),atan⁡(−6+22+6)+π)x\ in\ \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi\right) 
x in Interval.open(-atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))), atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + pi)
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