cos(2x)>-(1/2) desigualdades

Ha introducido [src]

cos(2*x) > -1/2

\cos{\left(2 x \right)} > - \frac{1}{2}

cos(2*x) > -1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(2 x \right)} > - \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(2 x \right)} = - \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(2 x \right)} = - \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}

2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}

O

2 x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}

2 x = \pi n - \frac{\pi}{3}

, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en

2

x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}

x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}

x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}

x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}

x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

=

\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}

=

\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(2 x \right)} > - \frac{1}{2}

\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}\right) \right)} > - \frac{1}{2}

    /  1   pi       \       
-sin|- - + -- + pi*n| > -1/2
    \  5   6        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}

x > \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

  /   /            pi\     /         2*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= pi, ---- < x||
  \   \            3 /     \          3      //

\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(x \leq \pi \wedge \frac{2 \pi}{3} < x\right)

((0 <= x)∧(x < pi/3))∨((x <= pi)∧(2*pi/3 < x))

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     2*pi     
[0, --) U (----, pi]
    3       3

x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right]

x in Union(Interval.Ropen(0, pi/3), Interval.Lopen(2*pi/3, pi))