Sr Examen

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sin(x)<1/2^(1/2) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
           1  
sin(x) < -----
           ___
         \/ 2 
$$\sin{\left(x \right)} < \sqrt{\frac{1}{2}}$$
sin(x) < sqrt(1/2)
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} < \sqrt{\frac{1}{2}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} < \sqrt{\frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} < \sqrt{\frac{1}{2}}$$
                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  10   4          /     2  
                          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
  /   /            pi\     /           3*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 2*pi, ---- < x||
  \   \            4 /     \            4      //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge \frac{3 \pi}{4} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < pi/4))∨((x <= 2*pi)∧(3*pi/4 < x))
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     3*pi       
[0, --) U (----, 2*pi]
    4       4         
$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, 2 \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/4), Interval.Lopen(3*pi/4, 2*pi))