log(x+3)+log(x+2)>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x + 2 \right)} + \log{\left(x + 3 \right)} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x + 2 \right)} + \log{\left(x + 3 \right)} = -1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$$
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 \sqrt{e^{1}}}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{5} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x + 2 \right)} + \log{\left(x + 3 \right)} \geq -1$$
$$\log{\left(\left(- \frac{13}{5} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 \sqrt{e^{1}}}\right) + 2 \right)} + \log{\left(\left(- \frac{13}{5} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 \sqrt{e^{1}}}\right) + 3 \right)} \geq -1$$

   /        _______  -1/2\      /      _______  -1/2\      
   |  3   \/ 4 + E *e    |      |2   \/ 4 + E *e    |      
log|- - + ---------------| + log|- + ---------------| >= -1
   \  5          2       /      \5          2       /      
      

pero

   /        _______  -1/2\      /      _______  -1/2\     
   |  3   \/ 4 + E *e    |      |2   \/ 4 + E *e    |     
log|- - + ---------------| + log|- + ---------------| < -1
   \  5          2       /      \5          2       /     
     

Entonces
$$x \leq - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{e + 4}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1