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Resolver desigualdades/ (sqrt(x^2-4x+4)-sqrt(x^2+2x))/(x^2+x-3)<=0

(sqrt(x^2-4x+4)-sqrt(x^2+2x))/(x^2+x-3)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   ______________      __________     
  /  2                /  2            
\/  x  - 4*x + 4  - \/  x  + 2*x      
--------------------------------- <= 0
             2                        
            x  + x - 3
−x2+2x+(x2−4x)+4(x2+x)−3≤0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}{\left(x^{2} + x\right) - 3} \leq 0 
(-sqrt(x^2 + 2*x) + sqrt(x^2 - 4*x + 4))/(x^2 + x - 3) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
−x2+2x+(x2−4x)+4(x2+x)−3≤0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}{\left(x^{2} + x\right) - 3} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
−x2+2x+(x2−4x)+4(x2+x)−3=0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}{\left(x^{2} + x\right) - 3} = 0
Resolvemos:
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
Las raíces dadas
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+23- \frac{1}{10} + \frac{2}{3}
=
1730\frac{17}{30}
lo sustituimos en la expresión
−x2+2x+(x2−4x)+4(x2+x)−3≤0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}{\left(x^{2} + x\right) - 3} \leq 0
−(1730)2+2⋅1730+(−4⋅1730+(1730)2)+4−3+((1730)2+1730)≤0\frac{- \sqrt{\left(\frac{17}{30}\right)^{2} + \frac{2 \cdot 17}{30}} + \sqrt{\left(- \frac{4 \cdot 17}{30} + \left(\frac{17}{30}\right)^{2}\right) + 4}}{-3 + \left(\left(\frac{17}{30}\right)^{2} + \frac{17}{30}\right)} \leq 0
              ______     
  1290   30*\/ 1309      
- ---- + ----------- <= 0
  1901       1901

significa que la solución de la desigualdad será con:
x≤23x \leq \frac{2}{3}
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-35-30-25-20-15-10-5101520253035-10001000
Respuesta rápida 2 [src] 
         ____                            ____     
   1   \/ 13                       1   \/ 13      
(- - - ------, -2] U [0, 2/3] U (- - + ------, oo)
   2     2                         2     2
x in (−132−12,−2]∪[0,23]∪(−12+132,∞)x\ in\ \left(- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}, -2\right] \cup \left[0, \frac{2}{3}\right] \cup \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right) 
x in Union(Interval(0, 2/3), Interval.open(-1/2 + sqrt(13)/2, oo), Interval.Lopen(-sqrt(13)/2 - 1/2, -2))
Respuesta rápida [src] 
  /                          /                 ____    \     /                ____    \\
  |                          |           1   \/ 13     |     |          1   \/ 13     ||
Or|And(0 <= x, x <= 2/3), And|x <= -2, - - - ------ < x|, And|x < oo, - - + ------ < x||
  \                          \           2     2       /     \          2     2       //
(0≤x∧x≤23)∨(x≤−2∧−132−12<x)∨(x<∞∧−12+132<x)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{2}{3}\right) \vee \left(x \leq -2 \wedge - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} < x\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} < x\right) 
((0 <= x)∧(x <= 2/3))∨((x <= -2)∧(-1/2 - sqrt(13)/2 < x))∨((x < oo)∧(-1/2 + sqrt(13)/2 < x))
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