sin(x-pi*1/3)<=sqrt(3)*1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{6}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{2 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

                           ___
   /  1    pi       \    \/ 3 
sin|- -- + -- + pi*n| <= -----
   \  10   3        /      2  
                         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x \geq \pi n - \frac{\pi}{3}$$