(cos(x))/(1+cos(2*x))<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
cambiamos
$$\frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}} = 0$$
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{w + 1} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por el denominador 1 + w
obtendremos:
$$\cos{\left(x \right)} = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

cosx = 0

Esta ecuación no tiene soluciones
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
sustituimos w:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\frac{\cos{\left(0 \right)}}{1 + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}} < 0$$

1/2 < 0

pero

1/2 > 0

signo desigualdades no tiene soluciones