Sr Examen

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cos2x<1/2

cos2x<1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
cos(2*x) < 1/2
cos(2x)<12\cos{\left(2 x \right)} < \frac{1}{2}
cos(2*x) < 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos(2x)<12\cos{\left(2 x \right)} < \frac{1}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos(2x)=12\cos{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos(2x)=12\cos{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
2x=πn+acos(12)2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}
2x=πnπ+acos(12)2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}
O
2x=πn+π32 x = \pi n + \frac{\pi}{3}
2x=πn2π32 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
22
x1=πn2+π6x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}
x2=πn2π3x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}
x1=πn2+π6x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}
x2=πn2π3x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}
Las raíces dadas
x1=πn2+π6x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}
x2=πn2π3x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn2+π6)+110\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn2110+π6\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}
lo sustituimos en la expresión
cos(2x)<12\cos{\left(2 x \right)} < \frac{1}{2}
cos(2(πn2110+π6))<12\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}\right) \right)} < \frac{1}{2}
   /  1   pi       \      
cos|- - + -- + pi*n| < 1/2
   \  5   3        /      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<πn2+π6x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<πn2+π6x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}
x>πn2π3x > \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-70-60-50-40-30-20-10102030405060702-2
Respuesta rápida 2 [src]
 pi  5*pi 
(--, ----)
 6    6   
x in (π6,5π6)x\ in\ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)
x in Interval.open(pi/6, 5*pi/6)
Respuesta rápida [src]
   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \6            6  /
π6<xx<5π6\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}
(pi/6 < x)∧(x < 5*pi/6)
Gráfico
cos2x<1/2 desigualdades