lgx>=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\log{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x = e^{\frac{1}{2}}$$
simplificamos
$$x = e^{\frac{1}{2}}$$
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}} \right)} \geq \frac{1}{2}$$

   /  1     1/2\       
log|- -- + e   | >= 1/2
   \  10       /       

pero

   /  1     1/2\      
log|- -- + e   | < 1/2
   \  10       /      

Entonces
$$x \leq e^{\frac{1}{2}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq e^{\frac{1}{2}}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1