Sr Examen

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log(1/2)(4+x)<-1 desigualdades

Ha introducido [src]

log(1/2)*(4 + x) < -1

\left(x + 4\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} < -1

(x + 4)*log(1/2) < -1

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\left(x + 4\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} < -1

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\left(x + 4\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} = -1

Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log(1/2)*(4+x) = -1

Abrimos la expresión:

-4*log(2) - x*log(2) = -1

Reducimos, obtenemos:

1 - 4*log(2) - x*log(2) = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

1 - 4*log2 - x*log2 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:

- x \log{\left(2 \right)} - 4 \log{\left(2 \right)} = -1

Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-4*log(2) - x*log(2))/x

x = -1 / ((-4*log(2) - x*log(2))/x)

Obtenemos la respuesta: x = (1 - log(16))/log(2)

x_{1} = \frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

x_{1} = \frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + - \frac{1}{10}

\frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}

lo sustituimos en la expresión

\left(x + 4\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} < -1

\left(\left(\frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right) + 4\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} < -1

 /39   1 - log(16)\            
-|-- + -----------|*log(2) < -1
 \10      log(2)  /

pero

 /39   1 - log(16)\            
-|-- + -----------|*log(2) > -1
 \10      log(2)  /

Entonces

x < \frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:

x > \frac{1 - \log{\left(16 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

 1 - 4*log(2)     
(------------, oo)
    log(2)

x\ in\ \left(\frac{1 - 4 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)

x in Interval.open((1 - 4*log(2))/log(2), oo)

Respuesta rápida [src]

   /        1 - 4*log(2)    \
And|x < oo, ------------ < x|
   \           log(2)       /

x < \infty \wedge \frac{1 - 4 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} < x

(x < oo)∧((1 - 4*log(2))/log(2) < x)

Gráfico