sin(x-pi/3)^2>1/4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} > \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{4}$$
cambiamos
$$\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - \frac{1}{4} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} - \frac{1}{4} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} - \frac{1}{4} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{\left(0 w + \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}}$$
$$\sqrt{\left(0 w + \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}\right)^{2}} = \frac{-1}{2}$$
o
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

cosx+pi/6 = 1/2

Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

cosx+pi/6 = -1/2

Esta ecuación no tiene soluciones
o

hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{6}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \frac{\pi}{6}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \frac{7 \pi}{6}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin^{2}{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} > \frac{1}{4}$$
$$\sin^{2}{\left(- \frac{\pi}{3} + \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}\right) \right)} > \frac{1}{4}$$

   2/1    pi\      
sin |-- + --| > 1/4
    \10   6 /      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{\pi}{2} \wedge x < \frac{7 \pi}{6}$$
$$x > \frac{3 \pi}{2}$$