logx3x-2/x+1>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x 3 \log{\left(x \right)} - \frac{2}{x}\right) + 1 > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x 3 \log{\left(x \right)} - \frac{2}{x}\right) + 1 = 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$
$$x_{1} = e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x 3 \log{\left(x \right)} - \frac{2}{x}\right) + 1 > 1$$
$$\left(3 \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}} \right)} \left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}\right) - - \frac{-2}{- \frac{1}{10} + e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}}\right) + 1 > 1$$

                       /        W(4/3)\    /        W(4/3)\    
                       |        ------|    |        ------|    
          2            |  1       2   |    |  1       2   |    
1 - -------------- + 3*|- -- + e      |*log|- -- + e      |    
            W(4/3)     \  10          /    \  10          / > 1
            ------                                             
      1       2                                                
    - -- + e                                                   
      10                                                       

Entonces
$$x < e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > e^{\frac{W\left(\frac{4}{3}\right)}{2}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1