sqrt(3x+1)+sqrt(x-4)-sqrt(4x+5)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{4 x + 5} + \left(\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 x + 1}\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{4 x + 5} + \left(\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 x + 1}\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{4 x + 5} + \left(\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 x + 1}\right) = 0$$
cambiamos:
$$\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 x + 1} = \sqrt{4 x + 5}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 x + 1}\right)^{2} = 4 x + 5$$
o
$$1^{2} \left(3 x + 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(x - 4\right) \left(3 x + 1\right)} + 1^{2} \left(x - 4\right)\right) = 4 x + 5$$
o
$$4 x + 2 \sqrt{3 x^{2} - 11 x - 4} - 3 = 4 x + 5$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{3 x^{2} - 11 x - 4} = 8$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$12 x^{2} - 44 x - 16 = 64$$
$$12 x^{2} - 44 x - 16 = 64$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$12 x^{2} - 44 x - 80 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 12$$
$$b = -44$$
$$c = -80$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-44)^2 - 4 * (12) * (-80) = 5776

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{4}{3}$$

Como
$$\sqrt{3 x^{2} - 11 x - 4} = 4$$
y
$$\sqrt{3 x^{2} - 11 x - 4} \geq 0$$
entonces
$$4 \geq 0$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{4}{3}$$
comprobamos:
$$x_{1} = 5$$
$$\sqrt{x_{1} - 4} + \sqrt{3 x_{1} + 1} - \sqrt{4 x_{1} + 5} = 0$$
=
$$- \sqrt{5 + 4 \cdot 5} + \left(\sqrt{-4 + 5} + \sqrt{1 + 3 \cdot 5}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = - \frac{4}{3}$$
$$\sqrt{x_{2} - 4} + \sqrt{3 x_{2} + 1} - \sqrt{4 x_{2} + 5} = 0$$
=
$$- \sqrt{\frac{\left(-4\right) 4}{3} + 5} + \left(\sqrt{\frac{\left(-4\right) 3}{3} + 1} + \sqrt{-4 - \frac{4}{3}}\right) = 0$$
=

2*i*sqrt(3) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{1} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 5$$
=
$$\frac{49}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{4 x + 5} + \left(\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 x + 1}\right) < 0$$
$$- \sqrt{5 + \frac{4 \cdot 49}{10}} + \left(\sqrt{-4 + \frac{49}{10}} + \sqrt{1 + \frac{3 \cdot 49}{10}}\right) < 0$$

    _____     ______       ____    
  \/ 615    \/ 1570    3*\/ 10     
- ------- + -------- + -------- < 0
     5         10         10       
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 5$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1