1/(2-x)+5/(2+x)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{5}{x + 2} + \frac{1}{2 - x} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{5}{x + 2} + \frac{1}{2 - x} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{5}{x + 2} + \frac{1}{2 - x} = 1$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-2 + x y 2 + x
obtendremos:
$$\left(x - 2\right) \left(\frac{5}{x + 2} + \frac{1}{2 - x}\right) = x - 2$$
$$\frac{4 \left(x - 3\right)}{x + 2} = x - 2$$
$$\frac{4 \left(x - 3\right)}{x + 2} \left(x + 2\right) = \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$$
$$4 x - 12 = x^{2} - 4$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$4 x - 12 = x^{2} - 4$$
en
$$- x^{2} + 4 x - 8 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 4$$
$$c = -8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (-1) * (-8) = -16

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2 - 2 i$$
$$x_{2} = 2 + 2 i$$
$$x_{1} = 2 - 2 i$$
$$x_{2} = 2 + 2 i$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\frac{1}{2 - 0} + \frac{5}{2} < 1$$

3 < 1

pero

3 > 1

signo desigualdades no tiene soluciones