(x-2)x/(x+1)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} = 0$$
denominador
$$x + 1$$
entonces

x no es igual a -1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x = 0$$
$$x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x = 0$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 0
2.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 2
pero

x no es igual a -1

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} < 0$$
$$\frac{\left(- \frac{1}{10}\right) \left(-2 + - \frac{1}{10}\right)}{- \frac{1}{10} + 1} < 0$$

7/30 < 0

pero

7/30 > 0

Entonces
$$x < 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 0 \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2