sin(3*x-pi/4)>=sqrt(2)/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$3 x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$3 x + \frac{\pi}{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$3 x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$3 x + \frac{\pi}{4} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$3 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$3 x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$3$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(3 \left(\frac{\pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                           ___
   /  3    pi       \    \/ 2 
sin|- -- + -- + pi*n| >= -----
   \  10   4        /      2  
                         

pero

                          ___
   /  3    pi       \   \/ 2 
sin|- -- + -- + pi*n| < -----
   \  10   4        /     2  
                        

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2