log(2x+8)(x+4)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 4\right) \log{\left(2 x + 8 \right)} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 4\right) \log{\left(2 x + 8 \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -4 + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}$$
$$x_{1} = -4 + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -4 + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(-4 + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10} + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 4\right) \log{\left(2 x + 8 \right)} \geq 2$$
$$\left(\left(- \frac{41}{10} + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}\right) + 4\right) \log{\left(2 \left(- \frac{41}{10} + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}\right) + 8 \right)} \geq 2$$

/        W(4)\                      
|  1    e    |    /  1    W(4)\     
|- -- + -----|*log|- - + e    | >= 2
\  10     2  /    \  5        /     
     

pero

/        W(4)\                     
|  1    e    |    /  1    W(4)\    
|- -- + -----|*log|- - + e    | < 2
\  10     2  /    \  5        /    
    

Entonces
$$x \leq -4 + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq -4 + \frac{e^{W\left(4\right)}}{2}$$

         _____  
        /
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       x1