Sr Examen

tg2x>=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
tan(2*x) >= 1
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq 1$$
tan(2*x) >= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(2 x \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
O
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq 1$$
$$\tan{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \geq 1$$
   /  1   pi       \     
tan|- - + -- + pi*n| >= 1
   \  5   4        /     

pero
   /  1   pi       \    
tan|- - + -- + pi*n| < 1
   \  5   4        /    

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
     /   ___________\     
     |  /       ___ |     
     |\/  2 - \/ 2  |  pi 
[atan|--------------|, --)
     |   ___________|  4  
     |  /       ___ |     
     \\/  2 + \/ 2  /     
$$x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}, \frac{\pi}{4}\right)$$
x in Interval.Ropen(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2)), pi/4)
Respuesta rápida [src]
   /    /   ___________\             \
   |    |  /       ___ |             |
   |    |\/  2 - \/ 2  |           pi|
And|atan|--------------| <= x, x < --|
   |    |   ___________|           4 |
   |    |  /       ___ |             |
   \    \\/  2 + \/ 2  /             /
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}$$
(x < pi/4)∧(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2))) <= x)
Gráfico
tg2x>=1 desigualdades