sin(1/2)x≥√2/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos una ecuación lineal:

sin(1/2)*x = sqrt(2)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sin1/2x = sqrt(2)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

sin1/2x = sqrt2/2

Dividamos ambos miembros de la ecuación en sin(1/2)

x = sqrt(2)/2 / (sin(1/2))

$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\left(- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

/           ___   \               ___
|  1      \/ 2    |             \/ 2 
|- -- + ----------|*sin(1/2) >= -----
\  10   2*sin(1/2)/               2  
    

pero

/           ___   \              ___
|  1      \/ 2    |            \/ 2 
|- -- + ----------|*sin(1/2) < -----
\  10   2*sin(1/2)/              2  
   

Entonces
$$x \leq \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\sqrt{2}}{2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1