(x+7)sqrt(x^2-x-2)≤0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 7\right) \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 7\right) \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 7\right) \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 7 = 0$$
$$x^{2} - x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -7$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -7
2.
$$x^{2} - x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -7$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 7\right) \sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2} \leq 0$$
$$\left(- \frac{71}{10} + 7\right) \sqrt{-2 + \left(- \frac{-71}{10} + \left(- \frac{71}{10}\right)^{2}\right)} \leq 0$$

   ______      
-\/ 5551       
---------- <= 0
   100         
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -7$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x1      x3      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -7$$
$$x \geq -1 \wedge x \leq 2$$