log^5(x+1)<=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x + 1 \right)}^{5} \leq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x + 1 \right)}^{5} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -1 + e^{\sqrt[5]{2}}$$
$$x_{2} = -1 + e^{- \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}$$
$$x_{3} = -1 + e^{- \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}$$
$$x_{4} = -1 + e^{- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}$$
$$x_{5} = -1 + e^{- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = -1 + e^{\sqrt[5]{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1 + e^{\sqrt[5]{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(-1 + e^{\sqrt[5]{2}}\right)$$
=
$$- \frac{11}{10} + e^{\sqrt[5]{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x + 1 \right)}^{5} \leq 2$$
$$\log{\left(1 + \left(- \frac{11}{10} + e^{\sqrt[5]{2}}\right) \right)}^{5} \leq 2$$

    /        5 ___\     
   5|  1     \/ 2 |     
log |- -- + e     | <= 2
    \  10         /     
     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq -1 + e^{\sqrt[5]{2}}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1