x^2-(4+sqrt(2))*x+3+5sqrt(2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(x^{2} - x \left(\sqrt{2} + 4\right)\right) + 3\right) + 5 \sqrt{2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(x^{2} - x \left(\sqrt{2} + 4\right)\right) + 3\right) + 5 \sqrt{2} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(\left(x^{2} - x \left(\sqrt{2} + 4\right)\right) + 3\right) + 5 \sqrt{2} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - 4 x - \sqrt{2} x + 3 + 5 \sqrt{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4 - \sqrt{2}$$
$$c = 3 + 5 \sqrt{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4 - sqrt(2))^2 - 4 * (1) * (3 + 5*sqrt(2)) = -12 + (-4 - sqrt(2))^2 - 20*sqrt(2)

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{- 20 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 - \frac{\sqrt{- 20 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{- 20 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 - \frac{\sqrt{- 20 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\left(\left(0^{2} - 0 \left(\sqrt{2} + 4\right)\right) + 3\right) + 5 \sqrt{2} < 0$$

        ___    
3 + 5*\/ 2  < 0
    

pero

        ___    
3 + 5*\/ 2  > 0
    

signo desigualdades no tiene soluciones