logx(x-2)*logx(x+2)=>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{21}{10} - 2\right) \log{\left(- \frac{21}{10} \right)} \log{\left(- \frac{21}{10} \right)} \left(- \frac{21}{10} + 2\right) \geq 0$$

 /        /21\          \                       
 |  41*log|--|          |                       
 |        \10/   41*pi*I| /          /21\\      
-|- ---------- - -------|*|pi*I + log|--||  >= 0
 \      10          10  / \          \10//      
-------------------------------------------     
                     10                         

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 1$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 1$$
$$x \geq 2$$