Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{21}{10} - 2\right) \log{\left(- \frac{21}{10} \right)} \log{\left(- \frac{21}{10} \right)} \left(- \frac{21}{10} + 2\right) \leq 0$$
/ /21\ \
| 41*log|--| |
| \10/ 41*pi*I| / /21\\
-|- ---------- - -------|*|pi*I + log|--|| <= 0
\ 10 10 / \ \10//
-------------------------------------------
10
Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 1$$
_____ _____
/ \ /
-------•-------•-------•-------
x1 x2 x3
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 1$$
$$x \geq 2$$