x(log(0,5)(x+1/3)+1)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \left(\left(x + \frac{1}{3}\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \left(\left(x + \frac{1}{3}\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right) = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$x \left(\left(x + \frac{1}{3}\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- x^{2} \log{\left(2 \right)} - \frac{x \log{\left(2 \right)}}{3} + x = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - \log{\left(2 \right)}$$
$$b = 1 - \frac{\log{\left(2 \right)}}{3}$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1 - log(2)/3)^2 - 4 * (-log(2)) * (0) = (1 - log(2)/3)^2

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{-2 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{-2 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{-2 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{-2 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \left(\left(x + \frac{1}{3}\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right) < 0$$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right)}{10} < 0$$

  1    7*log(2)    
- -- + -------- < 0
  10     300       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 0$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 0$$
$$x > - \frac{-2 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$