sin(1/2x-pi*1/6)>=-1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)} \geq - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)} = - \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{3}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{2} = \pi n$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \pi$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n - 2 \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n - 2 \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n - 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)} \geq - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10}}{2} - \frac{\pi}{6} \right)} \geq - \frac{1}{2}$$

    /1    pi       \        
-sin|-- + -- - pi*n| >= -1/2
    \20   6        /        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 2 \pi n$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 2 \pi n$$
$$x \geq 2 \pi n - 2 \pi$$