absolute(x-1)-absolute(2x+1)>=-6 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 1}\right| - \left|{2 x + 1}\right| \geq -6$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 1}\right| - \left|{2 x + 1}\right| = -6$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 1 \geq 0$$
$$2 x + 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 1\right) - \left(2 x + 1\right) + 6 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 4$$

2.
$$x - 1 \geq 0$$
$$2 x + 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 1 < 0$$
$$2 x + 1 \geq 0$$
o
$$- \frac{1}{2} \leq x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) - \left(2 x + 1\right) + 6 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$6 - 3 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 2$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

4.
$$x - 1 < 0$$
$$2 x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) - \left(- 2 x - 1\right) + 6 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -8$$


$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -8$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-8 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 1}\right| - \left|{2 x + 1}\right| \geq -6$$
$$- \left|{\frac{\left(-81\right) 2}{10} + 1}\right| + \left|{- \frac{81}{10} - 1}\right| \geq -6$$

-61       
---- >= -6
 10       

pero

-61      
---- < -6
 10      

Entonces
$$x \leq -8$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -8 \wedge x \leq 4$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1