ctg(x)<=-3/3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(x \right)} \leq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(x \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(x \right)} = -1$$
cambiamos
$$\cot{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\cot{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w = -1$$
Obtenemos la respuesta: w = -1
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(x \right)} \leq -1$$
$$\cot{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \leq -1$$

    /1    pi\      
-cot|-- + --| <= -1
    \10   4 /      

pero

    /1    pi\      
-cot|-- + --| >= -1
    \10   4 /      

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1