Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-1>=0
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(x+3)(x^2-3x+9)>(x^2-6)(x-1)
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(x-1)(x-2)<0
-
(x+2)*(x-11)<=0
-
Expresiones idénticas
- sinxcosx≤- uno / cuatro
- seno de x coseno de x≤ menos 1 dividir por 4
- seno de x coseno de x≤ menos uno dividir por cuatro
- sinxcosx≤-1 dividir por 4
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Expresiones semejantes
- sinxcosx≤+1/4
-
Expresiones con funciones
- sinxcosx
- sinxcosx>0
- sinxcosx<1/4
sinxcosx≤-1/4 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x)*cos(x) <= -1/4
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
sin(x)*cos(x) <= -1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
$$\sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
pero
Entonces
$$x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x \geq 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
$$\sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \leq - \frac{1}{4}$$
/ / ___________\\ / / ___________\\
|1 | ___ / ___ || |1 | ___ / ___ ||
-cos|-- + 2*atan\-2 + \/ 3 + 2*\/ 2 - \/ 3 /|*sin|-- + 2*atan\-2 + \/ 3 + 2*\/ 2 - \/ 3 /| <= -1/4
\10 / \10 /
pero
/ / ___________\\ / / ___________\\
|1 | ___ / ___ || |1 | ___ / ___ ||
-cos|-- + 2*atan\-2 + \/ 3 + 2*\/ 2 - \/ 3 /|*sin|-- + 2*atan\-2 + \/ 3 + 2*\/ 2 - \/ 3 /| >= -1/4
\10 / \10 /
Entonces
$$x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
_____ _____
/ \ / \
-------•-------•-------•-------•-------
x1 x4 x2 x3Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x \geq 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / ___ ___\ / ___ ___\ \ | |\/ 2 - \/ 6 | |\/ 2 + \/ 6 | | And|x <= pi + atan|-------------|, pi + atan|-------------| <= x| | | ___ ___| | ___ ___| | \ \\/ 2 + \/ 6 / \\/ 2 - \/ 6 / /
$$x \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi \leq x$$
(x <= pi + atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))))∧(pi + atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(sqrt(2) - sqrt(6))) <= x)
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___ ___\ / ___ ___\
|\/ 2 + \/ 6 | |\/ 2 - \/ 6 |
[pi + atan|-------------|, pi + atan|-------------|]
| ___ ___| | ___ ___|
\\/ 2 - \/ 6 / \\/ 2 + \/ 6 /
$$x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi, \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi\right]$$
x in Interval(atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(-sqrt(6) + sqrt(2))) + pi, atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + pi)
Gráfico