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sinxcosx≤-1/4
Resolver desigualdades/ sinxcosx≤-1/4

sinxcosx≤-1/4 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(x)*cos(x) <= -1/4
sin⁡(x)cos⁡(x)≤−14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4} 
sin(x)*cos(x) <= -1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)cos⁡(x)≤−14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)cos⁡(x)=−14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}
Resolvemos:
x1=−2atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=2atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=2atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=2atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=−2atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=2atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=2atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=2atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
Las raíces dadas
x1=−2atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x4=2atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x2=2atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=2atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−2atan⁡(−2+22−3+3)−110- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}
=
−2atan⁡(−2+22−3+3)−110- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)cos⁡(x)≤−14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{4}
sin⁡(−2atan⁡(−2+22−3+3)−110)cos⁡(−2atan⁡(−2+22−3+3)−110)≤−14\sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \leq - \frac{1}{4}
    /           /                  ___________\\    /           /                  ___________\\        
    |1          |       ___       /       ___ ||    |1          |       ___       /       ___ ||        
-cos|-- + 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /| <= -1/4
    \10                                        /    \10                                        /

pero
    /           /                  ___________\\    /           /                  ___________\\        
    |1          |       ___       /       ___ ||    |1          |       ___       /       ___ ||        
-cos|-- + 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /| >= -1/4
    \10                                        /    \10                                        /

Entonces
x≤−2atan⁡(−2+22−3+3)x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−2atan⁡(−2+22−3+3)∧x≤2atan⁡(−23+2+3+2)x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x4      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≥−2atan⁡(−2+22−3+3)∧x≤2atan⁡(−23+2+3+2)x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x≥2atan⁡(−3+22−3+2)∧x≤2atan⁡(3+2+23+2)x \geq 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)} \wedge x \leq 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060801-1
Respuesta rápida [src] 
   /              /  ___     ___\           /  ___     ___\     \
   |              |\/ 2  - \/ 6 |           |\/ 2  + \/ 6 |     |
And|x <= pi + atan|-------------|, pi + atan|-------------| <= x|
   |              |  ___     ___|           |  ___     ___|     |
   \              \\/ 2  + \/ 6 /           \\/ 2  - \/ 6 /     /
x≤atan⁡(−6+22+6)+π∧atan⁡(2+6−6+2)+π≤xx \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi \leq x 
(x <= pi + atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))))∧(pi + atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(sqrt(2) - sqrt(6))) <= x)
Respuesta rápida 2 [src] 
          /  ___     ___\           /  ___     ___\ 
          |\/ 2  + \/ 6 |           |\/ 2  - \/ 6 | 
[pi + atan|-------------|, pi + atan|-------------|]
          |  ___     ___|           |  ___     ___| 
          \\/ 2  - \/ 6 /           \\/ 2  + \/ 6 /
x in [atan⁡(2+6−6+2)+π,atan⁡(−6+22+6)+π]x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi, \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi\right] 
x in Interval(atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(-sqrt(6) + sqrt(2))) + pi, atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + pi)
Gráfico
sinxcosx≤-1/4 desigualdades
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