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sinxcosx<=1/4
Resolver desigualdades/ sinxcosx<=1/4

sinxcosx<=1/4 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(x)*cos(x) <= 1/4
sin⁡(x)cos⁡(x)≤14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{4} 
sin(x)*cos(x) <= 1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)cos⁡(x)≤14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{4}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)cos⁡(x)=14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \frac{1}{4}
Resolvemos:
x1=2atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=−2atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=−2atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=−2atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=2atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=−2atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=−2atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=−2atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
Las raíces dadas
x3=−2atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x2=−2atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x4=−2atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=2atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x3x_{0} \leq x_{3}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x3−110x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}
=
−2atan⁡(3+2+23+2)−110- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}
=
−2atan⁡(3+2+23+2)−110- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)cos⁡(x)≤14\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{4}
sin⁡(−2atan⁡(3+2+23+2)−110)cos⁡(−2atan⁡(3+2+23+2)−110)≤14\sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \leq \frac{1}{4}
    /           /                 ___________\\    /           /                 ___________\\       
    |1          |      ___       /       ___ ||    |1          |      ___       /       ___ ||       
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| <= 1/4
    \10                                       /    \10                                       /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤−2atan⁡(3+2+23+2)x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x4      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤−2atan⁡(3+2+23+2)x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x≥−2atan⁡(−3+22−3+2)∧x≤−2atan⁡(−23+2+3+2)x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)} \wedge x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x≥2atan⁡(−2+22−3+3)x \geq 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060801-1
Respuesta rápida 2 [src] 
         /  ___     ___\          /  ___     ___\     
         |\/ 2  - \/ 6 |          |\/ 2  + \/ 6 |     
[0, -atan|-------------|] U [-atan|-------------|, pi]
         |  ___     ___|          |  ___     ___|     
         \\/ 2  + \/ 6 /          \\/ 2  - \/ 6 /
x in [0,−atan⁡(−6+22+6)]∪[−atan⁡(2+6−6+2),π]x\ in\ \left[0, - \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)}, \pi\right] 
x in Union(Interval(0, -atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6)))), Interval(-atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(-sqrt(6) + sqrt(2))), pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /                 /  ___     ___\\     /             /  ___     ___\     \\
  |   |                 |\/ 6  - \/ 2 ||     |             |\/ 2  + \/ 6 |     ||
Or|And|0 <= x, x <= atan|-------------||, And|x <= pi, atan|-------------| <= x||
  |   |                 |  ___     ___||     |             |  ___     ___|     ||
  \   \                 \\/ 2  + \/ 6 //     \             \\/ 6  - \/ 2 /     //
(0≤x∧x≤atan⁡(−2+62+6))∨(x≤π∧atan⁡(2+6−2+6)≤x)\left(0 \leq x \wedge x \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}\right) \vee \left(x \leq \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} \leq x\right) 
((0 <= x)∧(x <= atan((sqrt(6) - sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6)))))∨((x <= pi)∧(atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(sqrt(6) - sqrt(2))) <= x))
Gráfico
sinxcosx<=1/4 desigualdades
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