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Resolver desigualdades/ ((sinx)*(cosx)^2)/(sin3x)>0

((sinx)*(cosx)^2)/(sin3x)>0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
          2       
sin(x)*cos (x)    
-------------- > 0
   sin(3*x)
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)>0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} > 0 
(sin(x)*cos(x)^2)/sin(3*x) > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)>0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} > 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0
cambiamos
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0
Sustituimos
w=cos⁡(x)w = \cos{\left(x \right)}
w2sin⁡(x)sin⁡(3x)=0\frac{w^{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0
cambiamos
w2sin⁡(x)=0w^{2} \sin{\left(x \right)} = 0
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=sin⁡(x)a = \sin{\left(x \right)}
b=0b = 0
c=0c = 0
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (sin(x)) * (0) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.
w = -b/2a = -0/2/(sin(x))

w1=0w_{1} = 0
hacemos cambio inverso
cos⁡(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
cos⁡(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=πn+acos⁡(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x=πn+acos⁡(w)−πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
O
x=πn+acos⁡(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x=πn+acos⁡(w)−πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=πn+acos⁡(w1)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}
x1=πn+acos⁡(0)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
x1=πn+π2x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=πn+acos⁡(w1)−πx_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi
x2=πn−π+acos⁡(0)x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
x2=πn−π2x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Las raíces dadas
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−π2−110- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}
=
−π2−110- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡(3x)>0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} > 0
sin⁡(−π2−110)cos⁡2(−π2−110)sin⁡(3(−π2−110))>0\frac{\sin{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} \cos^{2}{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)}}{\sin{\left(3 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)}} > 0
    2                     
-sin (1/10)*cos(1/10)     
---------------------- > 0
      cos(3/10)

Entonces
x<−π2x < - \frac{\pi}{2}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>−π2∧x<π2x > - \frac{\pi}{2} \wedge x < \frac{\pi}{2}
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060805000-2500
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