((sinx)*(cosx)^2)/(sin3x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0$$
cambiamos
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0$$
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
$$\frac{w^{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0$$
cambiamos
$$w^{2} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \sin{\left(x \right)}$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (sin(x)) * (0) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

w = -b/2a = -0/2/(sin(x))

$$w_{1} = 0$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} > 0$$
$$\frac{\sin{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} \cos^{2}{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)}}{\sin{\left(3 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)}} > 0$$

    2                     
-sin (1/10)*cos(1/10)     
---------------------- > 0
      cos(3/10)           
    

Entonces
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\pi}{2} \wedge x < \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2