sin(3*x+pi*1/4)>sqrt2/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$3 x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$3 x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$3 x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$3 x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$3 x = 2 \pi n$$
$$3 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$3$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(3 \left(\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{4} \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                            ___
   /  3    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| > -----
   \  10   4          /     2  
                          

Entonces
$$x < \frac{2 \pi n}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{2 \pi n}{3} \wedge x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2