sin(x/2-pi/4)>=sqrt(2)/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \pi\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \pi$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                           ___
   /  1    pi       \    \/ 2 
sin|- -- + -- + pi*n| >= -----
   \  20   4        /      2  
                         

pero

                          ___
   /  1    pi       \   \/ 2 
sin|- -- + -- + pi*n| < -----
   \  20   4        /     2  
                        

Entonces
$$x \leq 2 \pi n + \pi$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \pi n + \pi \wedge x \leq 2 \pi n - \pi$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2