cosx(tg2x-1)≤0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\tan{\left(2 x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\tan{\left(2 x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\tan{\left(2 x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} \leq 0$$
$$\left(-1 + \tan{\left(2 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) \cos{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} \leq 0$$

-(-1 - tan(1/5))*sin(1/10) <= 0

pero

-(-1 - tan(1/5))*sin(1/10) >= 0

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{8}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{8}$$
$$x \geq \frac{\pi}{2}$$