Sr Examen
Otras calculadoras
- Sistemas de desigualdades paso a paso
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- Sistemas de ecuaciones paso a paso
- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
- Resolución de desigualdades exponenciales en línea
- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-4x+3≥0
-
x^2−4x+3≥0
-
x^2-6x+5>0
-
(x-1)*(x^2+3)>0
-
Expresiones idénticas
- log(dos)(x^ dos - cuatro *x+ dos)/(x+ uno)<= uno
- logaritmo de (2)(x al cuadrado menos 4 multiplicar por x más 2) dividir por (x más 1) menos o igual a 1
- logaritmo de (dos)(x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x más dos) dividir por (x más uno) menos o igual a uno
- log(2)(x2-4*x+2)/(x+1)<=1
- log2x2-4*x+2/x+1<=1
- log(2)(x²-4*x+2)/(x+1)<=1
- log(2)(x en el grado 2-4*x+2)/(x+1)<=1
- log(2)(x^2-4x+2)/(x+1)<=1
- log(2)(x2-4x+2)/(x+1)<=1
- log2x2-4x+2/x+1<=1
- log2x^2-4x+2/x+1<=1
- log(2)(x^2-4*x+2) dividir por (x+1)<=1
-
Expresiones semejantes
- log(2)(x^2-4*x-2)/(x+1)<=1
- log(2)(x^2+4*x+2)/(x+1)<=1
- log(2)(x^2-4*x+2)/(x-1)<=1
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log3(8–x)/(x+2)≥1
- log2(2-5x)>1
- log(1/6)(8-2x)>-2
- log2-5x(3+1/log2(2-5x))<=1/log6(6x^2-6x+1)
- log2(2x²+8)<4
log(2)(x^2-4*x+2)/(x+1)<=1 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
log(2)*\x - 4*x + 2/
--------------------- <= 1
x + 1
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} \leq 1$$
((x^2 - 4*x + 2)*log(2))/(x + 1) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} = 1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)} - 4 x \log{\left(2 \right)} - x - 1 + 2 \log{\left(2 \right)}}{x + 1} = 0$$
denominador
$$x + 1$$
entonces
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} + x \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right) - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} + x \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right) - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} + x \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right) - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} - 4 x \log{\left(2 \right)} - x - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \log{\left(2 \right)}$$
$$b = - 4 \log{\left(2 \right)} - 1$$
$$c = -1 + 2 \log{\left(2 \right)}$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
pero
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} \leq 1$$
$$\frac{\left(\left(- 4 \left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + \left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)^{2}\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + 1} \leq 1$$
pero
Entonces
$$x \leq \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} \wedge x \leq \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} = 1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)} - 4 x \log{\left(2 \right)} - x - 1 + 2 \log{\left(2 \right)}}{x + 1} = 0$$
denominador
$$x + 1$$
entonces
x no es igual a -1
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} + x \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right) - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} + x \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right) - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} + x \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right) - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} \log{\left(2 \right)} - 4 x \log{\left(2 \right)} - x - 1 + 2 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \log{\left(2 \right)}$$
$$b = - 4 \log{\left(2 \right)} - 1$$
$$c = -1 + 2 \log{\left(2 \right)}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1 - 4*log(2))^2 - 4 * (log(2)) * (-1 + 2*log(2)) = (-1 - 4*log(2))^2 - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2)
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
pero
x no es igual a -1
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{x + 1} \leq 1$$
$$\frac{\left(\left(- 4 \left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + \left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)^{2}\right) + 2\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + 1} \leq 1$$
/ 2 \
| / _____________________________________________ \ / _____________________________________________ \|
| | / 2 | | / 2 ||
|12 | 1 1 - \/ (-1 - 4*log(2)) - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2) + 4*log(2)| 2*\1 - \/ (-1 - 4*log(2)) - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2) + 4*log(2)/|
|-- + |- -- + ---------------------------------------------------------------| - -------------------------------------------------------------------|*log(2)
\5 \ 10 2*log(2) / log(2) /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- <= 1
_____________________________________________
/ 2
9 1 - \/ (-1 - 4*log(2)) - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2) + 4*log(2)
-- + ---------------------------------------------------------------
10 2*log(2)
pero
/ 2 \
| / _____________________________________________ \ / _____________________________________________ \|
| | / 2 | | / 2 ||
|12 | 1 1 - \/ (-1 - 4*log(2)) - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2) + 4*log(2)| 2*\1 - \/ (-1 - 4*log(2)) - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2) + 4*log(2)/|
|-- + |- -- + ---------------------------------------------------------------| - -------------------------------------------------------------------|*log(2)
\5 \ 10 2*log(2) / log(2) /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- >= 1
_____________________________________________
/ 2
9 1 - \/ (-1 - 4*log(2)) - 4*(-1 + 2*log(2))*log(2) + 4*log(2)
-- + ---------------------------------------------------------------
10 2*log(2)
Entonces
$$x \leq \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{- \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}} + 1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} \wedge x \leq \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{- 4 \left(-1 + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(- 4 \log{\left(2 \right)} - 1\right)^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / ___________________________ ___________________________ \ \ | | / 2 / 2 | | | | \/ 1 + 8*log (2) + 12*log(2) 1 + 4*log(2) 1 + 4*log(2) \/ 1 + 8*log (2) + 12*log(2) | | Or|And|x <= ------------------------------ + ------------, ------------ - ------------------------------ <= x|, And(-oo < x, x < -1)| \ \ 2*log(2) 2*log(2) 2*log(2) 2*log(2) / /
$$\left(x \leq \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(2 \right)}^{2} + 12 \log{\left(2 \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} \wedge - \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(2 \right)}^{2} + 12 \log{\left(2 \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} \leq x\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -1\right)$$
((-oo < x)∧(x < -1))∨((x <= sqrt(1 + 8*log(2)^2 + 12*log(2))/(2*log(2)) + (1 + 4*log(2))/(2*log(2)))∧((1 + 4*log(2))/(2*log(2)) - sqrt(1 + 8*log(2)^2 + 12*log(2))/(2*log(2)) <= x))
Respuesta rápida 2
[src]
___________________________ ___________________________
/ 2 / 2
1 + 4*log(2) \/ 1 + 8*log (2) + 12*log(2) \/ 1 + 8*log (2) + 12*log(2) 1 + 4*log(2)
(-oo, -1) U [------------ - ------------------------------, ------------------------------ + ------------]
2*log(2) 2*log(2) 2*log(2) 2*log(2)
$$x\ in\ \left(-\infty, -1\right) \cup \left[- \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(2 \right)}^{2} + 12 \log{\left(2 \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}, \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(2 \right)}^{2} + 12 \log{\left(2 \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{1 + 4 \log{\left(2 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right]$$
x in Union(Interval.open(-oo, -1), Interval(-sqrt(1 + 8*log(2)^2 + 12*log(2))/(2*log(2)) + (1 + 4*log(2))/(2*log(2)), sqrt(1 + 8*log(2)^2 + 12*log(2))/(2*log(2)) + (1 + 4*log(2))/(2*log(2))))
Gráfico