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Resolución de integrales/ 2*x^2/ x^2+1/ x^2/(x^4+2*x^2+1)

Integral de x^2/(x^4+2*x^2+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |         2        
 |        x         
 |  ------------- dx
 |   4      2       
 |  x  + 2*x  + 1   
 |                  
/                   
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1}\, dx$$ 
Integral(x^2/(x^4 + 2*x^2 + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

  2. Integramos término a término:

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=True, context=(x**2 + 1)**(-2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es:

    El resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:

Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |        2                                   
 |       x                atan(x)       x     
 | ------------- dx = C + ------- - ----------
 |  4      2                 2        /     2\
 | x  + 2*x  + 1                    2*\1 + x /
 |                                            
/
$$\int \frac{x^{2}}{\left(x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1}\, dx = C - \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   pi
- - + --
  4   8
$$- \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$$ 
=
= 
  1   pi
- - + --
  4   8
$$- \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$$ 
-1/4 + pi/8
Respuesta numérica [src] 
0.142699081698724
0.142699081698724

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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