Integral de (3^x+2^x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2^{x} + 3^{x}\right)^{2} = 2^{2 x} + 3^{2 x} + 2 \cdot 6^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{2^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{3^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \cdot 6^{x}\, dx = 2 \int 6^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 6^{x}\, dx = \frac{6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$

      El resultado es: $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2^{x} + 3^{x}\right)^{2} = 2^{2 x} + 3^{2 x} + 2 \cdot 6^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{2^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{3^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \cdot 6^{x}\, dx = 2 \int 6^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 6^{x}\, dx = \frac{6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$

      El resultado es: $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4^{x} \log{\left(6^{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 6^{x} \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + 9^{x} \log{\left(6^{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4^{x} \log{\left(6^{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 6^{x} \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + 9^{x} \log{\left(6^{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4^{x} \log{\left(6^{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 6^{x} \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + 9^{x} \log{\left(6^{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}+ \mathrm{constant}$