Integral de (x-3)^2ln^2(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} e^{3 u} - 6 u^{2} e^{2 u} + 9 u^{2} e^{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \frac{2 u}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{3}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 e^{3 u}}{9}\, du = \frac{2 \int e^{3 u}\, du}{9}$

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{3 u}}{27}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{2} e^{2 u}\right)\, du = - 6 \int u^{2} e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{2} e^{2 u} + 3 u e^{2 u} - \frac{3 e^{2 u}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 u^{2} e^{u}\, du = 9 \int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $9 u^{2} e^{u} - 18 u e^{u} + 18 e^{u}$

         El resultado es: $\frac{u^{2} e^{3 u}}{3} - 3 u^{2} e^{2 u} + 9 u^{2} e^{u} - \frac{2 u e^{3 u}}{9} + 3 u e^{2 u} - 18 u e^{u} + \frac{2 e^{3 u}}{27} - \frac{3 e^{2 u}}{2} + 18 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27} - 3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} + 3 x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x \log{\left(x \right)}^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 18 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x \right)}^{2} = x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 6 x \log{\left(x \right)}^{2} + 9 \log{\left(x \right)}^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2} e^{3 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \frac{2 u}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{3}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 e^{3 u}}{9}\, du = \frac{2 \int e^{3 u}\, du}{9}$

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{3 u}}{27}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx = - 6 \int x \log{\left(x \right)}^{2}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2} e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} + 3 x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = 9 \int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $9 x \log{\left(x \right)}^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 18 x$

      El resultado es: $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27} - 3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} + 3 x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x \log{\left(x \right)}^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 18 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x \right)}^{2} = x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 6 x \log{\left(x \right)}^{2} + 9 \log{\left(x \right)}^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2} e^{3 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \frac{2 u}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{3}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 e^{3 u}}{9}\, du = \frac{2 \int e^{3 u}\, du}{9}$

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{3 u}}{27}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx = - 6 \int x \log{\left(x \right)}^{2}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2} e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} + 3 x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = 9 \int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $9 x \log{\left(x \right)}^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 18 x$

      El resultado es: $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27} - 3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} + 3 x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x \log{\left(x \right)}^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 18 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(18 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 12 x^{2} \log{\left(x \right)} + 4 x^{2} - 162 x \log{\left(x \right)}^{2} + 162 x \log{\left(x \right)} - 81 x + 486 \log{\left(x \right)}^{2} - 972 \log{\left(x \right)} + 972\right)}{54}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(18 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 12 x^{2} \log{\left(x \right)} + 4 x^{2} - 162 x \log{\left(x \right)}^{2} + 162 x \log{\left(x \right)} - 81 x + 486 \log{\left(x \right)}^{2} - 972 \log{\left(x \right)} + 972\right)}{54}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(18 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 12 x^{2} \log{\left(x \right)} + 4 x^{2} - 162 x \log{\left(x \right)}^{2} + 162 x \log{\left(x \right)} - 81 x + 486 \log{\left(x \right)}^{2} - 972 \log{\left(x \right)} + 972\right)}{54}+ \mathrm{constant}$