Integral de ((3*x+1)/√x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(6 u^{2} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{2}\, du = 6 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $2 u^{3} + 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{3 x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt{x}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{\frac{3}{2}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)+ \mathrm{constant}$