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Resolución de integrales/ log(x)/ 2*(x*log(x)-x)+1

Integral de 2*(x*log(x)-x)+1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  (2*(x*log(x) - x) + 1) dx
 |                           
/                            
0
∫01(2(xlog⁡(x)−x)+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) + 1\right)\, dx 
Integral(2*(x*log(x) - x) + 1, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2(xlog⁡(x)−x) dx=2∫(xlog⁡(x)−x) dx\int 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)\, dx = 2 \int \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)\, dx

      1. Integramos término a término:

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

            ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Método #2

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

            Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

        El resultado es: x2log⁡(x)2−3x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−3x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: x2log⁡(x)−3x22+xx^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} + x

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(x)−3x+2)2\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 2\right)}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(x)−3x+2)2+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(x)−3x+2)2+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       2            
 |                                     3*x     2       
 | (2*(x*log(x) - x) + 1) dx = C + x - ---- + x *log(x)
 |                                      2              
/
∫(2(xlog⁡(x)−x)+1) dx=C+x2log⁡(x)−3x22+x\int \left(2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) + 1\right)\, dx = C + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} + x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/2
−12- \frac{1}{2} 
=
= 
-1/2
−12- \frac{1}{2} 
-1/2
Respuesta numérica [src] 
-0.5
-0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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