Integral de log(cot2x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2}{\cot{\left(2 x \right)}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2\right)}{\cot{\left(2 x \right)}} = - \frac{2 x \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{2 x \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 x \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 2 x}{\cot{\left(2 x \right)}} = 2 x \cot{\left(2 x \right)} + \frac{2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x \cot{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

         El resultado es: $2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx + 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx - 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2\right)}{\cot{\left(2 x \right)}} = - 2 x \cot{\left(2 x \right)} - \frac{2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x \cot{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x}{\cot{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx$

      El resultado es: $- 2 \int \frac{x}{\cot{\left(2 x \right)}}\, dx - 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

3. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)} + 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx + 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)} + 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx + 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)} + 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx + 2 \int x \cot{\left(2 x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$