Integral de x^2*(12x^3-4)^12 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 12 x^{3} - 4$.

      Luego que $du = 36 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{36}$:

      $\int \frac{u^{12}}{36}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{12}\, du = \frac{\int u^{12}\, du}{36}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{468}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(12 x^{3} - 4\right)^{13}}{468}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(12 x^{3} - 4\right)^{12} = 8916100448256 x^{38} - 35664401793024 x^{35} + 65384736620544 x^{32} - 72649707356160 x^{29} + 54487280517120 x^{26} - 29059882942464 x^{23} + 11301065588736 x^{20} - 3228875882496 x^{17} + 672682475520 x^{14} - 99656663040 x^{11} + 9965666304 x^{8} - 603979776 x^{5} + 16777216 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8916100448256 x^{38}\, dx = 8916100448256 \int x^{38}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{38}\, dx = \frac{x^{39}}{39}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2972033482752 x^{39}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 35664401793024 x^{35}\right)\, dx = - 35664401793024 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 990677827584 x^{36}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 65384736620544 x^{32}\, dx = 65384736620544 \int x^{32}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1981355655168 x^{33}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 72649707356160 x^{29}\right)\, dx = - 72649707356160 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2421656911872 x^{30}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 54487280517120 x^{26}\, dx = 54487280517120 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2018047426560 x^{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 29059882942464 x^{23}\right)\, dx = - 29059882942464 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1210828455936 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11301065588736 x^{20}\, dx = 11301065588736 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $538145980416 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3228875882496 x^{17}\right)\, dx = - 3228875882496 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 179381993472 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 672682475520 x^{14}\, dx = 672682475520 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $44845498368 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 99656663040 x^{11}\right)\, dx = - 99656663040 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8304721920 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9965666304 x^{8}\, dx = 9965666304 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1107296256 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 603979776 x^{5}\right)\, dx = - 603979776 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 100663296 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16777216 x^{2}\, dx = 16777216 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16777216 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{2972033482752 x^{39}}{13} - 990677827584 x^{36} + 1981355655168 x^{33} - 2421656911872 x^{30} + 2018047426560 x^{27} - 1210828455936 x^{24} + 538145980416 x^{21} - 179381993472 x^{18} + 44845498368 x^{15} - 8304721920 x^{12} + 1107296256 x^{9} - 100663296 x^{6} + \frac{16777216 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{16777216 \left(3 x^{3} - 1\right)^{13}}{117}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16777216 \left(3 x^{3} - 1\right)^{13}}{117}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16777216 \left(3 x^{3} - 1\right)^{13}}{117}+ \mathrm{constant}$