Integral de x^2/4+cos(2x)/8 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{2}}{4}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{12}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

   El resultado es: $\frac{x^{3}}{12} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{12} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{12} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$