Integral de cos3xcos6x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)} \cos{\left(2 u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)} = 2 \cos^{3}{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \cos^{3}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + 2 \sin{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} = 128 \cos^{9}{\left(x \right)} - 288 \cos^{7}{\left(x \right)} + 216 \cos^{5}{\left(x \right)} - 58 \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 128 \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = 128 \int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{512 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{768 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{512 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 128 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 288 \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 288 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{288 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{864 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 288 \sin^{3}{\left(x \right)} - 288 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 216 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 216 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{216 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 144 \sin^{3}{\left(x \right)} + 216 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 58 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 58 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{58 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 58 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 32 \sin^{7}{\left(x \right)} + 24 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{22 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$