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Resolución de integrales/ (2x^2+5x+5)/(x+2)(x^2+2x-3)

Integral de (2x^2+5x+5)/(x+2)(x^2+2x-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                 
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 |     2                            
 |  2*x  + 5*x + 5 / 2          \   
 |  --------------*\x  + 2*x - 3/ dx
 |      x + 2                       
 |                                  
/                                   
0
∫01(2x2+5x)+5x+2((x2+2x)−3) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(2 x^{2} + 5 x\right) + 5}{x + 2} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right)\, dx 
Integral(((2*x^2 + 5*x + 5)/(x + 2))*(x^2 + 2*x - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+5x)+5x+2((x2+2x)−3)=2x3+5x2−x−3−9x+2\frac{\left(2 x^{2} + 5 x\right) + 5}{x + 2} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 3 - \frac{9}{x + 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3 dx=2∫x3 dx\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x42\frac{x^{4}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x2 dx=5∫x2 dx\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x33\frac{5 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−3) dx=−3x\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−9x+2) dx=−9∫1x+2 dx\int \left(- \frac{9}{x + 2}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(x+2)- 9 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x42+5x33−x22−3x−9log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x + 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+5x)+5x+2((x2+2x)−3)=2x4+9x3+9x2−5x−15x+2\frac{\left(2 x^{2} + 5 x\right) + 5}{x + 2} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right) = \frac{2 x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} - 5 x - 15}{x + 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      2x4+9x3+9x2−5x−15x+2=2x3+5x2−x−3−9x+2\frac{2 x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} - 5 x - 15}{x + 2} = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 3 - \frac{9}{x + 2}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3 dx=2∫x3 dx\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x42\frac{x^{4}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x2 dx=5∫x2 dx\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x33\frac{5 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−3) dx=−3x\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−9x+2) dx=−9∫1x+2 dx\int \left(- \frac{9}{x + 2}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(x+2)- 9 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x42+5x33−x22−3x−9log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x + 2 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+5x)+5x+2((x2+2x)−3)=2x4x+2+9x3x+2+9x2x+2−5xx+2−15x+2\frac{\left(2 x^{2} + 5 x\right) + 5}{x + 2} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right) = \frac{2 x^{4}}{x + 2} + \frac{9 x^{3}}{x + 2} + \frac{9 x^{2}}{x + 2} - \frac{5 x}{x + 2} - \frac{15}{x + 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x4x+2 dx=2∫x4x+2 dx\int \frac{2 x^{4}}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{x^{4}}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x+2=x3−2x2+4x−8+16x+2\frac{x^{4}}{x + 2} = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + \frac{16}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x2) dx=−2∫x2 dx\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2x33- \frac{2 x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−8) dx=−8x\int \left(-8\right)\, dx = - 8 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16x+2 dx=16∫1x+2 dx\int \frac{16}{x + 2}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 16log⁡(x+2)16 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x44−2x33+2x2−8x+16log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 8 x + 16 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x42−4x33+4x2−16x+32log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 16 x + 32 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9x3x+2 dx=9∫x3x+2 dx\int \frac{9 x^{3}}{x + 2}\, dx = 9 \int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x+2=x2−2x+4−8x+2\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−8x+2) dx=−8∫1x+2 dx\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8log⁡(x+2)- 8 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x33−x2+4x−8log⁡(x+2)\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x3−9x2+36x−72log⁡(x+2)3 x^{3} - 9 x^{2} + 36 x - 72 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9x2x+2 dx=9∫x2x+2 dx\int \frac{9 x^{2}}{x + 2}\, dx = 9 \int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+2=x−2+4x+2\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x+2 dx=4∫1x+2 dx\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x+2)4 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x22−2x+4log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9x22−18x+36log⁡(x+2)\frac{9 x^{2}}{2} - 18 x + 36 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5xx+2) dx=−5∫xx+2 dx\int \left(- \frac{5 x}{x + 2}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx+2=1−2x+2\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x+2) dx=−2∫1x+2 dx\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x+2)- 2 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x−2log⁡(x+2)x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5x+10log⁡(x+2)- 5 x + 10 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−15x+2) dx=−15∫1x+2 dx\int \left(- \frac{15}{x + 2}\right)\, dx = - 15 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −15log⁡(x+2)- 15 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x42+5x33−x22−3x−15log⁡(x+2)+6log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 15 \log{\left(x + 2 \right)} + 6 \log{\left(x + 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x42+5x33−x22−3x−9log⁡(x+2)+constant\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x42+5x33−x22−3x−9log⁡(x+2)+constant\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                           
 |    2                                    4                         2      3
 | 2*x  + 5*x + 5 / 2          \          x                         x    5*x 
 | --------------*\x  + 2*x - 3/ dx = C + -- - 9*log(2 + x) - 3*x - -- + ----
 |     x + 2                              2                         2     3  
 |                                                                           
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∫(2x2+5x)+5x+2((x2+2x)−3) dx=C+x42+5x33−x22−3x−9log⁡(x+2)\int \frac{\left(2 x^{2} + 5 x\right) + 5}{x + 2} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right)\, dx = C + \frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x + 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4/3 - 9*log(3) + 9*log(2)
−9log⁡(3)−43+9log⁡(2)- 9 \log{\left(3 \right)} - \frac{4}{3} + 9 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-4/3 - 9*log(3) + 9*log(2)
−9log⁡(3)−43+9log⁡(2)- 9 \log{\left(3 \right)} - \frac{4}{3} + 9 \log{\left(2 \right)} 
-4/3 - 9*log(3) + 9*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-4.98251930630681
-4.98251930630681

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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