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Resolución de integrales/ (sin(x)-cos(x))/(sin(x)+2cos(x))

Integral de (sin(x)-cos(x))/(sin(x)+2cos(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |   sin(x) - cos(x)    
 |  ----------------- dx
 |  sin(x) + 2*cos(x)   
 |                      
/                       
0
∫01sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((sin(x) - cos(x))/(sin(x) + 2*cos(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)=−−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}} = - \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)) dx=−∫−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        −sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)=−sin⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x5−2log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5\frac{x}{5} - \frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −x5+2log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5- \frac{x}{5} + \frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          2x5+log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5\frac{2 x}{5} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

        El resultado es: x5+3log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5\frac{x}{5} + \frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −x5−3log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5- \frac{x}{5} - \frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)=sin⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        x5−2log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5\frac{x}{5} - \frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          2x5+log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5\frac{2 x}{5} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x5−log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5- \frac{2 x}{5} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

      El resultado es: −x5−3log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5- \frac{x}{5} - \frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x5−3log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5+constant- \frac{x}{5} - \frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x5−3log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5+constant- \frac{x}{5} - \frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                                                        
 |  sin(x) - cos(x)           3*log(2*cos(x) + sin(x))   x
 | ----------------- dx = C - ------------------------ - -
 | sin(x) + 2*cos(x)                     5               5
 |                                                        
/
∫sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+2cos⁡(x) dx=C−x5−3log⁡(sin⁡(x)+2cos⁡(x))5\int \frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{x}{5} - \frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   3*log(2*cos(1) + sin(1))   3*log(2)
- - - ------------------------ + --------
  5              5                  5
−3log⁡(sin⁡(1)+2cos⁡(1))5−15+3log⁡(2)5- \frac{3 \log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)} \right)}}{5} - \frac{1}{5} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{5} 
=
= 
  1   3*log(2*cos(1) + sin(1))   3*log(2)
- - - ------------------------ + --------
  5              5                  5
−3log⁡(sin⁡(1)+2cos⁡(1))5−15+3log⁡(2)5- \frac{3 \log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)} \right)}}{5} - \frac{1}{5} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{5} 
-1/5 - 3*log(2*cos(1) + sin(1))/5 + 3*log(2)/5
Respuesta numérica [src] 
-0.17615507686621
-0.17615507686621

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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